Cosenos directores
Los cosenos directores son una forma de expresar la orientación de un vector en un sistema de coordenadas cartesianas, en otras palabras son una manera de expresar la orientación de un vector en relación a los ejes coordenados mediante los ángulos que forma con cada uno de ellos. Es decir, los cosenos directores son los valores coseno de los ángulos que el vector forma con cada uno de los ejes coordenados.
Los cosenos directores expresan la dirección de los vectores sobre cada eje de algún plano (un sistema de coordenadas cartesianas). De esta forma los cosenos llevan los ángulos que el vector tiene respecto a los ejes en el sentido positivo de cada eje coordenado.
Los cosenos directores son una forma útil para describir la dirección de un vector de manera más precisa que utilizando solo los vectores unitarios i, j y k.
Se debe tener en cuenta que estos cosenos son adimensionales, lo que significa que no tienen unidades. Los cosenos directores permiten una descripción más completa de la orientación del vector en el espacio tridimensional.
En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector siempre es igual a uno (1). A esta propiedad se le conoce como la identidad de Pitágoras en tres dimensiones.
Para entender esta fórmula, podemos considerar un vector "A" con componentes en los ejes X, Y y Z. Cada componente está asociado a un ángulo que representa la dirección del vector en relación con ese eje y representarán la dirección que tiene el vector respecto a estos.
Además por medio de razones trigonométricas podemos asumir que los cosenos directores de cada ángulo son iguales al cateto adyacente dividido entre la hipotenusa. De este modo despejamos en función del cateto adyacente, o en otras palabras despejamos en función de las componentes del vector "A" de cada eje rectangular (Ax, Ay y Az).
Podemos expresar el vector "A" como la suma de sus componentes en cada eje multiplicadas por los correspondientes vectores unitarios i, j y k (es decir componente en "X" por el vector unitario "i", más su componente en "Y" por el vector unitario "j" y más el componente en "Z" por el vector unitario "k").
Si reemplazamos cada componente de la parte vectorial por las ecuaciones anteriormente planteadas en función de "Ax", "Ay" y "Az", nos queda una nueva ecuación que podemos factorizar para el término común "A" y luego desplazamos dicho término al otro lado de la igualdad para dividir al vector "A".
Despejando las componentes en términos de los cosenos directores, podemos reescribir la ecuación del vector "A" como una combinación de cosenos directores y vectores unitarios.
Con esto se puede observar que a un lado de la ecuación tenemos la división del vector "A" entre su parte escalar o magnitud escalar, lo que es igual al vector unitario del vector "A".
Así, podemos expresar el vector unitario de "A" como la suma de los cosenos directores en cada dirección multiplicados por los correspondientes vectores unitarios. Recordemos que para calcular la magnitud de un vector podemos sacar la raíz cuadrada de su parte vectorial.
La magnitud del vector unitario es siempre igual a uno, lo que nos permite expresar la identidad de Pitágoras como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los cosenos directores igual a uno.
Para quitar la raíz cuadrada, elevamos al cuadrado toda la igualdad. Uno elevado al cuadrado da igual al mismo uno.
De este modo se comprueba que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector en un sistema de coordenadas cartesianas es igual a uno.
Sin embargo, la ecuación de la suma de los cosenos directores en sí puede variar dependiendo de la dirección del vector. Por ejemplo, si un vector está en línea recta con uno de los ejes coordenados, uno de sus cosenos directores será 1 y los otros dos serán 0, sin embargo la suma de los cosenos directores seguiría siendo igual a 1.
De este modo existen casos donde el vector se encuentra sobre la misma dirección de un eje coordenado, como a continuación:
Sobre el eje X: COS(ángulo X) = 1; COS(ángulo Y) = 0; COS(ángulo Z) = 0
Sobre el eje Y: COS(ángulo X) = 0; COS(ángulo Y) = 1; COS(ángulo Z) = 0
Sobre el eje Z: COS(ángulo X) = 0; COS(ángulo Y) = 0; COS(ángulo Z) = 1
