Ley de cosenos o teorema de cosenos
La ley o teorema de cosenos es utilizada para cualquier triángulo mediante una relación de proporcionalidad de sus lados y de los cosenos de los ángulos que hay entre ellos (se utiliza principalmente para triángulos no rectángulos u oblicuos).
Contrario a la ley de senos este método utiliza las longitudes de todos los lados del triángulo en combinación.
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- Fórmula en razón de R, relacionando los tres lados A, B y R, además
del ángulo entre A y B (Theta). |
Este método se puede utilizar en los casos donde las medidas de dos lados y el ángulo entre ellos son conocidas o en el caso donde se conozcan los tres lados del triángulo.
Por ejemplo, en caso de conocer los valores de dos lados (A y B) y el valor del ángulo entre ellos (theta) se puede hallar el valor del otro lado utilizando el método y la fórmula en razón de R, que es el lado por calcular.
El siguiente paso es reemplazar los valores en la fórmula sabiendo que A es igual a 6, que B igual a 8 y el ángulo es igual a 145 grados, se procede a realizar las operaciones con el fin de obtener el resultado de la incógnita R.
En caso de conocer el valor de R y tener de incógnita algún valor de A o B, se despeja en función de dicha incógnita, por ejemplo, poder conocer el valor de R y A con el ángulo theta y con incógnita de B, entonces se despeja B de la fórmula. Esto aplica para todas las variables de la fórmula.
Demostración Ley o Teorema de Cosenos
La demostración de la fórmula general de la ley de cosenos se puede establecer por medio del teorema de Pitágoras del siguiente modo.
Se supone un triángulo cualquiera en el que se identifican sus lados "A", "B" y "R" y sus respectivos ángulos internos opuestos Alfa, Fi y Theta.
La línea de la altura del triángulo se dibuja desde la base "R" hasta el punto de la intercepción entre sus lados "A" y "B" (vértice). Esta línea además de representar el valor de la altura del triángulo también permite dividirlo en dos triángulos rectos y dividir el lado "R" en dos nuevos lados "a" y "b", con los cuales se pueden establecer las siguientes ecuaciones.
1 - El triángulo de la izquierda involucra los lados "B", "b" y "h" que
mediante el teorema de Pitágoras se pueden sumar sus magnitudes al cuadrado,
despejando el cuadrado del lado "h".
2 - El triángulo de la
derecha involucra los lados "A", "a" y "h" y del mismo modo se suman sus
magnitudes al cuadrado, despejando el cuadrado del lado "h".
3 - Se establece que el lado "R" es igual a la suma de los lados "a" y "b". En este caso se despeja el lado "a" para que la fórmula general final quede en razón de "A".
4 - Se utiliza alguno de los dos triángulos (en este caso se toma el izquierdo para que la fórmula general final quede en razón del lado "A") y por medio de la trigonometría se establece que el coseno del ángulo Alfa es igual al cateto adyacente (lado "b") entre la hipotenusa (lado "B").
Se despeja el lado "b" que no es propio del triángulo inicial.
Una vez se establecen las cuatro ecuaciones anteriores se procede a realizar la relación entre ellas, comenzando con las ecuaciones 1 y 2, se pueden igualar sabiendo que el lado "h" cuadrado es el mismo en las dos, con esto se obtiene la igualdad de los cuadrados "B" menos "b" y "A" menos "a".
Para que la fórmula general final quede en razón del lado "A" la anterior igualdad debe quedar despejada del siguiente modo:
De esta ecuación es necesario reemplazar o quitar los lados que no son propios del triángulo (lados "a" y "b"), por esto se utiliza la ecuación número 3 con la que se reemplaza el lado "a" por la resta entre los lados "R" menos "b", obteniendo así la factorización de un trinomio cuadrado.
Al realizar la operación del trinomio cuadrado se eliminan los términos del cuadrado de "b" debido a sus signos.
Dejando así la ecuación únicamente con la necesidad de reemplazar la incógnita "b".
Por último se reemplaza la ecuación número 4, siendo el lado "b" igual al producto entre el lado "B" con el coseno del ángulo Alfa.
De este modo se llega a la fórmula general final de la ley de cosenos en razón del lado "A".
