Vectores en dos dimensiones
Los vectores en dos dimensiones (2D) se representan en
planos de dos ejes (como ejemplo y el más común, el plano X-Y).
Se debe tener en cuenta que los vectores tienen
magnitud, sentido, dirección y punto de aplicación.
Índice
Al dibujarlos en un plano cartesiano se pueden representar gráficamente respecto al eje X o al eje Y, dependiendo del eje también se pueden representar textualmente de maneras diferentes.
Suponiendo que se quiere colocar en un plano X-Y un vector "A" de magnitud 5 m, con un sentido negativo en dirección de 20 grados sobre el eje X, existen diferentes posibilidades de graficar dicho vector:
Respecto al eje X:
Sin embargo, la forma más común en que se representan los vectores en un plano 2D es la siguiente:
Es muy importante identificar el sentido y dirección del vector porque gracias a estos se conoce si se encuentra en un lado positivo o negativo, por eso dependiendo del ángulo que se escoja se determina si se le agrega signo o no.
Componentes rectangulares
Las componentes rectangulares de los vectores expresan los valores que toma el vector en sus respectivos ejes, esto significa que el vector se descompone en sus ejes y a su vez la suma de estas componentes da el valor del mismo vector.
Un vector cuya dirección no esté sobre alguno de los ejes “X” o “Y” tiene componentes rectangulares, como a continuación:
Cuando un vector se encuentra en la misma dirección de los ejes no va tener componentes (no es necesario calcularlas), la componente del eje en el que está ubicado va ser igual al vector, como a continuación:
Dependiendo del cuadrante donde se encuentre el vector las componentes van a tener signo positivo o negativo.
Teorema de Pitágoras
La suma de áreas en un triángulo recto toma en cuenta que
cada lado del triángulo pertenece a un cuadrado.
Esto significa que al ser un triángulo con tres lados, cada lado va hacer parte de un cuadrado y de los tres cuadrados siempre existirá uno con mayor área en comparación con los otros dos.
Entonces se cumple la regla que dice que la suma de los cuadrados de menor área da como resultado el cuadrado de mayor área.
La fórmula muestra que el área del cuadrado de mayor lado (h) es igual al área
del cuadrado de lado (a) sumada al área del cuadrado de lado (b).
Se despeja la h de la fórmula pasando la potencia al cuadrado al otro lado, volviéndose una raíz cuadrada.
De este modo se obtiene la fórmula para calcular la magnitud de los vectores, a partir de sus componentes rectangulares.
Razones trigonométricas en un vector
Un triángulo recto cuenta con razones trigonométricas que
relacionan los lados del triángulo con su respectivo ángulo. Los lados adoptan un nombre dependiendo del lugar donde esté el ángulo:
- El lado opuesto al ángulo se llama Cateto Opuesto (CO)
- El lado adyacente al ángulo se llama Cateto Adyacente (CA)
- El lado que une los dos lados anteriores se llama Hipotenusa (H)
Existen varias razones trigonométricas, pero para este caso se necesitan principalmente tres: seno, coseno y tangente.
Para la componente en X se utiliza el coseno del ángulo (Theta)
el cual es igual al lado adyacente del ángulo (o cateto adyacente)
entre el lado más grande llamado hipotenusa.
Luego se despeja el valor del lado adyacente pasando la hipotenusa a multiplicar al coseno del ángulo.
Del mismo modo para la componente en Y se utiliza el
seno del ángulo (Theta) el cual es igual al lado opuesto del ángulo (o
cateto opuesto) entre el lado más grande llamado hipotenusa.
Luego se despeja el valor del lado opuesto pasando la hipotenusa a multiplicar al seno del ángulo.
Por último, para saber el valor del ángulo existe otra fórmula que
involucra a la tangente del ángulo (Theta) que es igual al lado opuesto
del ángulo (o cateto opuesto) entre el lado adyacente del ángulo (o
cateto adyacente).
Y en vez de despejar algún lado se despeja el ángulo pasando la tangente al otro lado como tangente elevada a la menos 1 de la división del lado opuesto entre el lado adyacente.
Calcular las componentes de un vector
Para el caso de los vectores que tienen diferente dirección sobre los ejes, se hace necesario calcular las componentes, para esto se utilizan algunos conceptos de trigonometría.
Podemos ver un ejemplo de un vector de magnitud A con ángulo Theta sobre el eje X y otro vector de magnitud B con ángulo Alfa sobre el eje Y, estos vectores tienen componentes en ambos ejes.
Como se pudo observar las fórmulas para calcular los valores del vector cambian un poco según el eje en que esté ubicado el ángulo (dirección).
Cuando los vectores tienen la misma dirección de los ejes las operaciones serán más sencillas, solo va existir la componente del eje en que se ubica el vector y va ser de la misma magnitud y sentido.
A continuación, se explica de dónde salen las fórmulas para calcular la magnitud, las componentes y el ángulo de un vector, utilizando como base la geometría por medio de la suma de áreas y la trigonometría por medio de razones trigonométricas.
Fórmulas para calcular la magnitud y dirección de un vector
Haciendo una analogía con los métodos anteriores, las fórmulas quedan así:
Se debe tener en cuenta que estos métodos y fórmulas se aplican solo para triángulos rectángulos.
¡Espera! Aún no hemos terminado con el tema, también es necesario comprender la Suma o Resta de vectores en dos dimensiones, haz clic en el siguiente enlace:
Ejercicios resueltos de vectores en dos dimensiones
¡Felicitaciones por haber llegado hasta aquí! Esto significa que has leído la teoría anterior y tienes algunas bases para comprender mejor el tema de vectores de dos dimensiones. A continuación, encontrarás una lista de ejercicios resueltos de vectores representados en dos dimensiones para que puedas practicar.
Espero te sirvan de ayuda <3