Introducción a Vectores y Vectores en Una Dimensión
Los vectores tienen la función de interpretar aquellas situaciones o fenómenos
de la vida, por medio de cantidades representadas en valores con el fin
de lograr un entendimiento de las causas y efectos que las producen.
Se pueden ver como una herramienta de estudio que es fundamental al tratar de explicar y entender los fenómenos físicos o matemáticos, ya que básicamente su función es cuantificar y caracterizar dichos fenómenos para analizarlos mejor.
Índice
¿Qué es un vector?
Un vector lo podemos considerar, en cuanto a su estructura, como la unión de varios puntos que van formando una línea o fragmento de recta, lo que indica el cambio desde un punto inicial hasta un punto final.
En la mayoría de los casos se ve como una simple flecha, donde su extremo o punto final va ser la cabeza del vector (hacía donde va dirigido).
La longitud o el largo de dicha flecha hace referencia a la cantidad que se va representar.
Sin embargo, para que se considere vector se necesita que dicha flecha tenga
otras características:
- El vector debe estar definido por un módulo o magnitud (cantidad),
- una dirección (un ángulo) y
- un sentido que se determina por la cabeza del vector (punto final).
Todas estas características son las que hacen que una recta o flecha se convierta en un vector.
Partes de un vector
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Magnitud: La magnitud o modulo expresa
las cantidades que tiene el vector y que en algunos casos pueden ir
acompañadas de una unidad de medida. Se puede decir que
la magnitud es la parte escalar de un vector.
Como ejemplo la magnitud de un vector puede ser 5 centímetros. -
Dirección: La dirección es
el ángulo en que va estar inclinado el vector y para representarse se
toma de referencia alguna
línea recta ya sea horizontal o vertical (llamados ejes coordenados).
Como ejemplo la dirección de un vector de ángulo Theta es 30 grados sobre el eje o línea horizontal.
-
Sentido: El sentido expresa
hacia donde está dirigido el vector, y se puede observar que lo
representa
la punta del vector o la punta de la flecha.
Como ejemplo en algunos casos el sentido se puede determinar por las expresiones “dirigido hacia arriba”, “dirigido hacia la izquierda”, “dirigido hacia el norte”, “dirigido hacia el sureste” entre otras expresiones. -
Punto de aplicación: Este punto también es llamado
el origen del vector y se define como el punto donde
comienza el fragmento de recta del vector.
Como ejemplo un punto de aplicación en una recta numérica puede ser 5 unidades hacia la derecha o 3 unidades hacia la izquierda.
Representación de un vector
Los vectores suelen representarse principalmente con letras o símbolos de dos maneras:
La magnitud o módulo de cualquier vector es una magnitud escalar. La magnitud del vector se expresa de forma escalar con letras o símbolos como a continuación:
Es muy importante saber diferenciar la magnitud escalar de un vector con el propio vector, al momento de realizar operaciones es bastante común confundir una magnitud escalar con un vector y esto puede llevar a errores de cálculo.
Un vector va estar compuesto de una parte escalar y otra parte que le dará la dirección y el sentido.
La magnitud del vector puede ser cero o positiva (no negativa), pero el vector puede ser positivo, cero o negativo. El signo en este caso solo se refiere al sentido hacia donde va dirigido (izquierda o derecha / arriba o abajo).
El signo dependerá del punto de referencia que se adopte.
Aplicación de los vectores
Los vectores pueden ser expresados en las tres principales dimensiones (1D, 2D, 3D) para facilitar entre ellos el modo de entenderlos y de realizar cálculos.
Aquí te recomiendo que te imagines en las tres dimensiones, podemos comenzar por la más fácil de imaginar y es en la que vivimos, ¿Si sabías que vivimos en un espacio tridimensional que identificamos con los valores del largo, ancho y alto de cualquier materia física? entonces esto lo puedes representar con vectores en tres dimensiones donde podríamos decir que la altura se representa por el eje Y, el ancho por el eje X y el largo por el eje Z, o con el orden de representación que prefieras de X,Y y Z.
Luego imagínate vivir en un espacio bidimensional, con sólo dos direcciones, es como vivir en una caricatura o un video juego de los antiguos, ¡SÍ! Puede ser el famoso Súper Mario Bros 1, ese Mario que sólo podía saltar o bajar, y moverse hacia adelante o hacia atrás, así sería como vivir en una pantalla plana donde sólo puedes ir de un lado a otro, de izquierda a derecha o de arriba a abajo, o viceversa. Sin duda reducirías bastante tu espacio de movimiento, sin embargo es mucho peor en un espacio unidimensional.
Para imaginarnos en un espacio unidimensional, podemos pensar tal vez en un tubo de diámetro "infinitamente pequeño" una línea recta muy pero muy delgada que marcaría la única dirección en la cual podríamos desplazarnos, sin poder saltar o bajar, tampoco podríamos movernos hacia los lados, únicamente podríamos ir hacia adelante o tal vez hacia atrás.
Un ejemplo podrían ser las hormigas. ¿Alguna vez has visto algún grupo de estas moviéndose en fila en busca de comida?, bueno algo así serían nuestras vidas en un espacio unidimensional, aunque al menos las hormigas pueden moverse hacia los lados y sobrepasar a las otras en el camino. Sin duda la vida sería muy aburrida, con poca interacción social, bastante monótona y extraña a como la conocemos.
A continuación estas tres principales dimensiones que son representadas por ejes de coordenadas cartesianas con las letras X, Y, Z y sus respectivos vectores unitarios i, j, k.
En estas dimensiones se definen puntos de referencia que sirven para realizar
un mejor análisis de los vectores, que va depender de
la posición o el lugar donde se ubique en el espacio.
Al
representarse en estas dimensiones se pueden presentar los siguientes casos:
Igualdad de vectores
Se considera una igualdad de vectores cuando tienen misma magnitud, sentido y dirección, aunque no tengan un mismo origen o punto de aplicación.
Vectores opuestos
Son vectores opuestos aquellos que tienen una misma magnitud y dirección, pero van en sentidos opuestos, aún sin tener el mismo origen o punto de aplicación.
Vectores distintos
Son vectores distintos aquellos que
no tienen igual punto de aplicación, magnitud, sentido o dirección.
Vectores en una dimensión
Los vectores pueden ser representados en 1D por medio de líneas que van en un solo eje, de este modo los vectores pueden ir en dos sentidos, por ejemplo, derecha e izquierda.
Tomando un origen o punto de referencia se asigna un lado positivo y otro lado negativo y colocando valores a cada división según la escala adecuada (como es una dimensión solo se cuenta con un eje el cuál puede ser X, Y o Z).
Suma o resta de vectores en una dimensión
La suma o resta en una dimensión son las operaciones más simples que se hacen con vectores. Para este caso solo se debe tener en cuenta la magnitud y el sentido de los vectores.
En la siguiente figura los vectores serán negativos si van hacia la izquierda y positivos si van hacia la derecha, tomando como punto de referencia 0.
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Dos vectores "A" y "B" representados en la recta numérica. |
Hay que tener siempre en cuenta los signos a la hora de realizar estas operaciones, como podemos ver en la SUMA de estos dos vectores hay un negativo lo que hace que la operación se “convierta” en una RESTA.
La “R” es lo que resulta de las operaciones de vectores, se le llama "La Resultante" y puede ser representado con cualquier otra letra, aunque la “R” es la más común.
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La operación realizada es la suma de los dos vectores "R = B + A", pero al ser negativo el vector "A" la suma se convierte en resta debido a la ley de signos (más por menos es igual a menos), dando como resultado de "R" una magnitud igual a 2 que va dirigido hacia la derecha de la recta numérica. |
Hay casos en donde la operación es una RESTA, pero si los vectores tienen signos negativos esta operación se convierte en una SUMA:
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La operación realizada es la resta de los dos vectores "R = B - A", pero al ser negativo el vector "A" la resta se convierte en suma debido a la ley de signos (menos por menos es igual a más), dando como resultado de "R" una magnitud igual a 8 que va dirigido hacia la derecha de la recta numérica. |
Entonces siempre que se vayan a realizar operaciones con vectores es necesario revisar el signo de los vectores y el signo de la operación que se va realizar.
Ejercicios Resueltos de vectores en una dimensión
Si has llegado hasta aquí te felicito, significa has leído la anterior teoría y ya tienes algunas bases para comprender mejor el tema de vectores (al menos aquellos vectores de una dimensión), por lo tanto, a continuación podrás encontrar un listado con algunos ejercicios resueltos de vectores representados en una dimensión.
Espero te sirvan de ayuda <3